TEMA 7

Tema 7: Teoría de la probabilidad

Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar.

1. Probabilidad subjetiva o personalítica

-La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada. 


1.1. PROBABILIDAD CLÁSICA O “A PRIORI”

- Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto. 

- Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N


1.2. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori”

2.PROBABILIDAD RELATIVA O “A POSTERIORI” 

DEFINICIÓN: Si un suceso es repetido un GRAN número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E

3. Reglas básicas: Teoría de la Probabilidad

• Las probabilidades siempre oscilan entre 0 y 1 
• La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso 
– P (A´)= 1-P(A)
• La probabilidad de un suceso imposible es 0 
• La unión de A y B es:
– P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A П B) 
• La probabilidad condicionada de un suceso A a otro B se expresa: 






4. Teorema de Bayes

Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. 

EJEMPLO: 

Supongamos que un colegio mixto donde el 60% de los estudiantes son chicos y el 40% son chicas. Las chicas llevan pantalón o falda en probabilidades iguales; los chicos siempre llevan pantalones. Un observador ve desde lejos a un estudiante aleatorio; lo único que puede distinguir el observador es que el o la estudiante lleva pantalones. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica? La respuesta correcta se puede hallar usando el Teorema de Bayes.

El evento A es que el estudiante observado sea una chica, mientras que el evento B es que el estudiante observado lleva pantalones. Para hallar P(A|B), primero necesitamos saber:

• P(A), o la probabilidad de que el estudiante sea una chica a pesar de cualquier otra información. Ya que el observador ve un estudiante aleatorio, y dado que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser observados, y el porcentaje de chicas entre los estudiantes es el 40%, esta probabilidad es 0,4.
• P(A'), o la probabilidad de que el estudiante observado sea un chico a pesar de cualquier otra información (A' es el complementario del evento A). Esto es el 60%, o 0,6.
• P(B|A), o la probabilidad de que el estudiante lleve pantalones siendo una chica. Como tienen la misma probabilidad de llevar falda o pantalones, esto es 0,5.
• P(B|A'), o la probabilidad de que el estudiante lleve pantalones siendo un chico. Esto es 1.
• P(B), o la probabilidad de que un estudiante (aleatorio) lleve pantalones. Dado que P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A'), esto es 0,5×0,4 + 1×0,6 = 0,8.

Dados todos estos datos, la probabilidad de que el observador haya visto a una chica habiendo observado que lleva pantalones puede ser calculada sustituyendo estos valores en la fórmula:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}={\frac {0,5\times 0,4}{0,8}}=0,25.}$

5. Distribución de probabilidad en variables discretas

5.1. Distribución binomial

• Es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas) variables discretas 

– Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades (cara/cruz; sano/enfermo…) 
– El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. 
– La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q . 
– El experimento consta de un número n de pruebas. 

• Mediante esta distribución se resuelven los problemas que plantean: 

– Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un suceso ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X veces? 
➧ P: probabilidad de ocurrencia; q de no ocurrencia 
➧ X: numero sucesos favorables 
➧ N: numero total de ensayos 
– Por definición el factorial de un número 0 es igual a 1.

5.2. Distribución de Poisson


Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".







6. Distribuciones normales





-Tipificación de valores en una normal: 

• Extrapolando aparecen los principios básicos de las distribuciones normales y podemos tipificar valores de una normal: 

– ± 1S → 68,26% de las observaciones
 – ± 2S → 95,45% de las observaciones 
– ± 1,95S → 95% de las observaciones 
– ± 3S → 99,73% de las observaciones 
– ± 2,58S → 99% de las observaciones


-Tipificación de los valores y su relación con la campana de Gauss

• Trabajamos con una variables continuas que: 
– Sigue una distribución normal (TLC) 
– Y tiene más de 100 unidades (LGN) 

• La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia





TABLA DE TIPIFICACIÓN